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常微分方程试题库

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(五)、证明题, (每题10分)
  1. 试证:如果是满足初始条件的解,那么
.
  2. 设和是方程的任意两个解,求证:它们的朗斯基行列式,其中为常数.
  3. 假设不是矩阵的特征值,试证非齐线性方程组,有一解形如:,其中是常数向量.
  4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.
  5. 设在上连续,且,求证:方程的任意


解均有.
  6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.
  7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.
  8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解,是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式:
  
是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。
  9. 设矩阵函数,在(a, b)上连续,试证明,若方程组与有相同的基本解组,则?。
  10. 证明: 一个复值向量函数是(LH)的解的充要条件,它的实部和虚部都是(LH)的解。
  












(五)、证明题参考答案及评分标准 (每题10分)
  1. 试证:如果是满足初始条件的解,那么
.
  证明:因为是的基本解矩阵,是其解,所以存在常向量使得:
   , (2分)
  令,则:
   , (2分)
所以
   , (2分)

(4分)
  2. 设和是方程的任意两个解,求证:它们的朗斯基行列式,其中为常数.
  证明:设在区间上连续,由刘维尔公式可知,对任意,它们的朗斯基行列式满足:
   , (4分)
而在方程中,,所以
, (4分)
即 , (2分)
  3. 假设不是矩阵的特征值,试证非齐线性方程组,有一解形如:.其中是常数向量.
证明:要证是解,就是要证能够确定常数向量,它使得
, (2分)
即,成立。 (2分)
  亦即
, (2分)
由于不是的特征值,故,从而存在逆矩阵, 那么可取向量 ,
, (2分)
这样方程就有形如的解.

(2分)
  4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.
  证明:先证必要性,设方程为线性方程,即
, (2分)
所以 ,
, (2分)
即它有仅

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