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高中数学数列专题 递推数列 典型题型

高考递推数列的典型题型

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型1 an 1 an f(n)

解法:把原递推公式转化为an 1 an f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 an 满足a1 解:由条件知:an 1分

,求an。 2

n n

1111

an 2

n(n 1)nn 1n n

1

2

,an 1 an

1

n 1,2,3, ,(n 1),代入上式得(n 1)个等式累加之,即

(a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) (an an 1) (1

111112) (

2

3

) (3

4

) (

1n 1

1n

)

所以a1n a1 1

n

a1

1

1

2, an

2 1

1

n

3

2

1

n

变式:(2004,全国I,个理22.本小题满分14分)

已知数列{an}中a1 1,且a2k=a2k-1+(-1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. (I)求a3, a5;

(II)求{ an}的通项公式.

解: ak

k

2k a2k 1 ( 1),a2k 1 a2k 3

akkkk2k 1 a2k 3 a2k 1 ( 1) 3,即a2k 1 a2k 1 3 ( 1)k

a3 a1 3 ( 1),

a2

)2

5 a3 3 ( 1

…… ……

ak

k

2k 1 a2k 1 3 ( 1)

将以上k个式子相加,得

a2k2k

2k 1 a1 (3 3 3) [( 1) ( 1) ( 1)]

3k

2

(3 1)

1k

2

[( 1) 1]

将a1 1代入,得

a2k 1

11k

2

3

k 1

2

( 1) 1,

ak

2k a2k 1 ( 1)

12

3k

12

( 1)k

1。

1n 1n 1

3

2

1

( 1)2 1(n为奇数)经检验a 22

1 1也适合, an 1nn

2

32 1

2 ( 1)2 1(n为偶数)类型2 an 1 f(n)an 解法:把原递推公式转化为an 1a f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。

n

例:已知数列 a2n 满足a1

3

,an 1

nn 1

an,求an。

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