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初等几何研究第一章习题的答案(4)

初等几何研究第一章习题(四、关于定值问题)的答案,在书中四百九十多页

四、关于定值问题

1. 平面有两个边长等的正方形ABCD,A'B'C'D',且A'位于ABCD中

心处,当A'B'C'D'绕A'转动时,两个正方形重合部分的面积是一 定值,这个结论对吗?证明你的判断。 解:过正方形ABCD之中心的两条于边平行的中心线,将它分成4

1

小块,每块都是两个正方形重合的部分,所以S重合的部分=SABCD 4

如图

证明:∵∠EA'F+∠FA'H=90°,∠FA'H+∠HA'G=90° ∴∠EA'F=∠HA'G

初等几何研究第一章习题的答案(4)

初等几何研究第一章习题的答案(4)

∵A'F=A'G ∴∠A'FE=∠A'HG(ASA) ∴△A'EF △A'HG SA'ECH=SA'FCG

2、正五边形内接于半径为r的圆,P是该五边形内任一点, 向各边或其延长线上作垂线。 (1)证明这些垂线长的和是常数 (2)用半径r表示这个常数 3 h5证明:设各垂线为h

初等几何研究第一章习题的答案(4)

1 h2 h3 h4 h5,边长为a,作中心到边的 B

垂线为h,半径为r,连接P到各个顶点,则

112S=S1+S2+S3+S4+S5,即5×ah=

22

h (h1+h2+h3+h4+h5)×a ∴5h=h1+h2+h3+h4+h5

h1 即这些垂线长的和为常数 (2)解:∵设正五边形的中心角∠COD为 1

∴h r cos 由证明(1)知定值为5h,

511

∴5h 5r cos ∴用半径r表示为5r cos

55

3.P、A、B、C、D、E、F意义同下题,再自P作PL⊥AD于 L,PM⊥BE于M,PN⊥CF于N,求证:AL+BM+CN为定值。 证明:设O为正△ABC的中心,如图所示,则容易看出L、

M、N在以OP为直径的圆上。为明确起见,不妨假定 P在△BOD内,这时再过N作AD的平行线分别交BO 与圆于R、S,再设d=OP,α=∠BOP,

则有OL+ON=d[cos(60°-α)+cos(60°+

α)]=2dcos60°·cosα=d·cosα=OM∴AL+BM+

2

CN=AO+OL+BO+ON+CO-OM=3AO=3·AD=3·α。

3

4. 设P是正△ABC内的任一点,自P作三边的垂线PD、PE、PF,D、E、F是垂足。 试证:(1)PD+PE+PF=h(正△ABC的高) PD PE PF1

(2)

AB BC CA2B

C

E

D

A

C

证明:(1)∵S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC

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