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专题77 坐标系与极坐标方程(理)(原卷版)

1 专题77 坐标系与极坐标方程(理)

专题知识梳理

1.极坐标系

在平面上取一个定点O ,由O 点出发的一条射线Ox ,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.O 点称为极点,Ox 称为极轴.

2.点的极坐标的规定

平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和Ox 到OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.ρ称为极径,θ称为极角.

3.极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合、两种坐标系取相同的单

位长度时,点的极坐标(ρ,θ)与直角坐标(x ,y )的互化公式为⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θy =ρsin θ,或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,

tan θ=y x

(x ≠0).通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取ρ≥0,0≤θ<2π.

4.曲线的极坐标方程

(1)曲线的极坐标方程:如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ,θ)=0;反之极坐标适合方程f (ρ,θ)=0的点都在这条曲线上,则称这个方程f (ρ,θ)=0为曲线的方程.

(2)求曲线方程的步骤:

建立极坐标系——在曲线上任取一点P (ρ,θ)——建立ρ和θ之间的关系——化简整理——说明这个方程式曲线的极坐标方程.

考点探究

【例1】 在极坐标系中,求直线ρ(3cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.

【例2】(2018·南京三模)在极坐标系中,已知圆C 经过点P (2,π3),圆心C 为直线ρsin(θ-π3)

专题77  坐标系与极坐标方程(理)(原卷版)

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